【向量的基本乘法运算公式】在向量代数中，向量的乘法运算主要有两种形式：点积（内积） 和 叉积（外积）。这两种运算在物理、工程和数学中有着广泛的应用。以下是对这两种基本乘法运算的总结，并通过表格形式清晰展示其定义、性质及计算方式。

一、点积（内积）

定义：两个向量的点积是一个标量，表示为 $\vec{a} \cdot \vec{b}$，其值等于两个向量模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。

公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中，$\theta$ 是两向量之间的夹角。

坐标形式（在三维空间中）：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

性质：

- 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

- 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

- 数乘结合律：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

二、叉积（外积）

定义：两个向量的叉积是一个向量，表示为 $\vec{a} \times \vec{b}$，其方向垂直于这两个向量所组成的平面，大小等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。

公式：

$$

$$

其中，$\theta$ 是两向量之间的夹角。

方向：由右手法则确定，即右手四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$，拇指指向叉积的方向。

坐标形式（在三维空间中）：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

性质：

- 反交换律：$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$

- 分配律：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

- 数乘结合律：$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

三、对比总结

通过以上总结可以看出，点积和叉积是向量运算中非常重要的两种形式，它们在不同领域中各有其独特的应用价值。理解它们的定义、公式和性质，有助于更深入地掌握向量代数的相关知识。