【向量平行公式和垂直公式】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。掌握相关的公式有助于快速解决几何、物理以及工程中的相关问题。本文将对向量平行与垂直的判定方法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、向量平行的判定
当两个向量方向相同或相反时，称它们为平行向量。数学上，若两个向量 a 和 b 满足以下条件之一，则它们是平行的：
1. 存在实数 λ，使得 a = λb 或 b = λa。
2. 向量的夹角为 0° 或 180°。
3. 向量的叉积（二维中为数量积）为零（在三维中，叉积为零向量）。
在二维坐标系中，若向量 a = (x₁, y₁)，向量 b = (x₂, y₂)，则它们平行的充要条件是：
$$
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \quad (\text{当 } x_2 \neq 0, y_2 \neq 0)
$$
或者等价地：
$$
x_1 y_2 = x_2 y_1
$$
二、向量垂直的判定
当两个向量的夹角为 90° 时，称为垂直向量。数学上，若两个向量 a 和 b 满足以下条件之一，则它们是垂直的：
1. 向量的点积为零：即 a · b = 0
2. 向量的夹角为 90°
在二维坐标系中，若向量 a = (x₁, y₁)，向量 b = (x₂, y₂)，则它们垂直的充要条件是：
$$
x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
$$
三、总结对比表
| 判定类型 | 定义 | 数学表达式 | 说明 |
| 平行向量 | 方向相同或相反 | $ a = \lambda b $ 或 $ x_1 y_2 = x_2 y_1 $ | 可用比例关系或叉积判断 |
| 垂直向量 | 夹角为 90° | $ a \cdot b = 0 $ 即 $ x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 $ | 点积为零 |
四、应用示例
- 若向量 a = (2, 4)，b = (1, 2)，则因 $ 2 \times 2 = 1 \times 4 $，故 a 与 b 平行。
- 若向量 c = (3, -1)，d = (1, 3)，则 $ 3 \times 1 + (-1) \times 3 = 0 $，故 c 与 d 垂直。
通过掌握这些公式，可以更高效地处理向量之间的关系问题，尤其在解析几何和物理力学中具有广泛的应用价值。
