在概率论与数理统计中，了解各种随机变量的性质是非常重要的。随机变量的期望值和方差是描述其分布特征的重要指标，它们分别反映了随机变量取值的中心位置以及波动程度。以下是几种常见随机变量的期望和方差公式汇总。

1. 离散型均匀分布

- 定义：假设随机变量X的所有可能取值为x₁, x₂, ..., xₙ，且每个值出现的概率相等。

- 期望：E(X) = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n

- 方差：Var(X) = [(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)/n] - [E(X)]²

2. 二项分布

- 定义：若随机试验只有两种结果（成功或失败），重复进行n次独立实验，每次成功的概率为p，则称随机变量服从二项分布B(n,p)。

- 期望：E(X) = np

- 方差：Var(X) = np(1-p)

3. 泊松分布

- 定义：当事件发生的次数是一个稀疏过程时，可以用泊松分布P(λ)来建模，其中λ表示单位时间内的平均发生次数。

- 期望：E(X) = λ

- 方差：Var(X) = λ

4. 正态分布

- 定义：也叫高斯分布N(μ,σ²)，是最常用的连续型概率分布之一。

- 期望：E(X) = μ

- 方差：Var(X) = σ²

5. 指数分布

- 定义：常用于描述等待时间等非负连续型随机变量。

- 期望：E(X) = 1/λ

- 方差：Var(X) = 1/λ²

6. 几何分布

- 定义：表示首次成功所需尝试次数的分布G(p)。

- 期望：E(X) = 1/p

- 方差：Var(X) = (1-p)/p²

7. 超几何分布

- 定义：从有限总体中无放回抽样得到的结果分布H(N,K,n)。

- 期望：E(X) = nK/N

- 方差：Var(X) = nK(N-K)(N-n)/[N²(N-1)]

以上表格总结了不同类型的随机变量及其对应的数学期望和方差表达式。这些知识对于深入理解随机现象背后的规律具有重要意义，并且广泛应用于工程、金融等多个领域。希望这份简明扼要的指南能够帮助大家更好地掌握相关概念！