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tan75度等于多少?

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2025-07-23 13:10:50

tan75度等于多少?】在三角函数中,正切(tan)是一个常用的函数,用于描述直角三角形中对边与邻边的比值。75度是一个非标准角度,但可以通过一些三角恒等式来计算其正切值。

一、tan75度的计算方法

75度可以表示为45度和30度的和,因此我们可以使用正切的加法公式来求解:

$$

\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

$$

令 $ a = 45^\circ $,$ b = 30^\circ $,则有:

- $\tan 45^\circ = 1$

- $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

代入公式:

$$

\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

$$

为了消除分母中的根号,我们对分子和分母同时乘以共轭 $ \sqrt{3} + 1 $:

$$

\tan(75^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}

$$

所以,最终结果是:

$$

\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}

$$

二、tan75度的数值近似

我们知道:

- $\sqrt{3} \approx 1.732$

因此:

$$

\tan(75^\circ) \approx 2 + 1.732 = 3.732

$$

三、总结表格

角度 正切值(精确表达) 正切值(近似值)
75° $2 + \sqrt{3}$ 约 3.732

通过上述分析可以看出,虽然75度不是常见的特殊角,但我们仍然可以通过三角恒等式准确计算其正切值。这种计算方式不仅适用于75度,还可以推广到其他非标准角度的计算中。

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