在高中数学中，排列与组合是概率论和统计学的基础内容之一。其中，组合数C(n, m)是一个非常重要的概念，它表示从n个不同元素中取出m个元素的组合方式总数。其公式为：
$$
C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
但很多同学在学习时会感到困惑：这个公式是怎么来的？为什么分母是m!乘以(n - m)!？今天我们就来一步步解析这个公式的由来。
一、什么是排列？
在开始讲组合之前，我们先回顾一下“排列”的概念。排列是从n个不同元素中取出m个元素，并按一定顺序排成一列的方式数。记作P(n, m)，其公式为：
$$
P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
例如，从5个不同的球中选出3个并排成一行，有多少种方法？这就是一个排列问题，答案是 $ P(5, 3) = \frac{5!}{2!} = 60 $ 种。
二、什么是组合？
组合则不同，它不考虑顺序。也就是说，从n个元素中选出m个元素，不管它们怎么排列，只要元素相同就算同一种组合。比如，从A、B、C中选两个元素，AB和BA算作同一个组合。
因此，组合数C(n, m)就是从n个元素中选出m个元素的所有可能组合的数量。
三、组合数C(n, m)的推导过程
既然组合不考虑顺序，而排列是考虑顺序的，那么我们可以这样思考：
- 如果我们先从n个元素中选出m个元素（不考虑顺序），然后对这m个元素进行全排列，就会得到所有可能的排列方式。
- 所以，组合数乘以m!（即m个元素的全排列数）就等于排列数P(n, m)。
用数学表达式表示为：
$$
C(n, m) \times m! = P(n, m)
$$
将P(n, m)代入：
$$
C(n, m) \times m! = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
两边同时除以m!，得到：
$$
C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
这就得到了我们熟悉的组合数公式。
四、举例说明
假设我们有5个数字：1、2、3、4、5，从中任取3个组成一组，问有多少种不同的组合？
根据公式：
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10
$$
实际列举的话，组合为：
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 → 共10种，验证正确。
五、总结
组合数C(n, m)的公式来源于排列与组合之间的关系。通过理解排列是考虑顺序的，而组合是不考虑顺序的，我们可以通过排列数除以被重复计算的顺序数（即m!）来得出组合数的表达式。
所以，C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 不是凭空而来，而是通过逻辑推理和数学推导得出的重要公式。
如果你在学习过程中遇到类似的问题，不妨多从基本概念入手，逐步推导，这样才能真正掌握数学的本质。
