在数学领域中，函数的定义域是一个非常重要的概念。它指的是一个函数能够接受的所有输入值的集合。对于复变函数而言，其定义域通常是指函数可以被有意义地定义和计算的复数范围。
以sin(z)为例，这是一个典型的复变三角函数。其中，z为复数，可以表示为z = x + yi的形式，这里x和y分别是实部和虚部，i是虚数单位。sin(z)的定义域实际上涵盖了整个复平面。这意味着无论z取何值，无论是实数还是虚数，sin(z)都有明确的定义，并且可以在复平面上进行解析延拓。
从数学分析的角度来看，sin(z)的定义可以通过欧拉公式来表达：
\[ \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \]
这个公式表明，sin(z)是由指数函数构成的，而指数函数在整个复平面上都是解析的。因此，sin(z)也继承了这种性质，在整个复平面上具有良好的解析性。
此外，由于sin(z)是一个周期函数，它的周期为2πi。这意味着sin(z)在每个周期内重复自身的行为。尽管如此，这并不影响其在整个复平面上的定义域覆盖情况。
总结来说，sin(z)的定义域就是整个复平面，即所有可能的复数都可以作为sin(z)的输入值。这一特性使得sin(z)成为研究复变函数理论中的一个重要对象。
