【二次函数最大值公式是什么】在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，其一般表达式为：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。根据 a 的正负，二次函数的图像是开口向上或向下的抛物线。
当 a < 0 时，抛物线开口向下，此时函数存在最大值；当 a > 0 时，抛物线开口向上，此时函数存在最小值。
因此，我们通常关注的是当 a < 0 时的最大值问题。
一、二次函数的最大值公式
对于二次函数 y = ax² + bx + c，当 a < 0 时，该函数有最大值。最大值出现在顶点处，顶点的横坐标为：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将这个 x 值代入原函数，即可得到最大值：
$$
y_{\text{max}} = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
简化后可得：
$$
y_{\text{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
这就是二次函数的最大值公式。
二、总结与对比
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 适用于所有二次函数 |
| 最大值公式 | $ y_{\text{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} $ | 当 a < 0 时成立 |
| 最小值公式 | $ y_{\text{min}} = \frac{4ac - b^2}{4a} $ | 当 a > 0 时成立 |
三、实际应用举例
假设有一个二次函数：
y = -2x² + 4x + 3
这里，a = -2，b = 4，c = 3。因为 a < 0，所以该函数有最大值。
1. 求顶点横坐标：
$ x = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 $
2. 代入求最大值：
$ y_{\text{max}} = \frac{4 \times (-2) \times 3 - 4^2}{4 \times (-2)} = \frac{-24 - 16}{-8} = \frac{-40}{-8} = 5 $
因此，该函数的最大值是 5，出现在 x = 1 处。
四、注意事项
- 如果题目只问“最大值公式”，请确保先判断 a 的符号。
- 在考试或实际应用中，建议先计算顶点横坐标，再代入求最大值。
- 公式中的分子部分（4ac - b²）也被称为判别式的一部分，用于判断根的情况。
通过以上内容，我们可以清晰地理解二次函数最大值的来源和计算方法，帮助我们在学习和应用中更加准确地使用这一公式。
