在数学中，函数的基本特性之一是其对称性。根据这一特性，我们可以将函数分为奇函数和偶函数两大类。奇函数和偶函数各自具有独特的性质，而在它们进行加、减、乘、除等运算时，也会产生新的函数类型。本文将深入探讨奇函数与偶函数的基本定义，并详细解析它们在不同运算下的结果。

首先，我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。一个函数f(x)被称为偶函数，当且仅当对于所有x属于其定义域，都有f(-x) = f(x)成立。这意味着偶函数关于y轴对称。而一个函数g(x)被称为奇函数，当且仅当对于所有x属于其定义域，都有g(-x) = -g(x)成立。这表明奇函数关于原点对称。

接下来，我们将讨论奇函数与偶函数之间的基本运算规则：

1. 加法：奇函数与偶函数相加的结果既不是奇函数也不是偶函数。例如，如果f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则h(x) = f(x) + g(x)不满足任何对称性的条件。

2. 减法：类似地，奇函数与偶函数相减的结果也是既非奇函数也非偶函数。即，h(x) = f(x) - g(x)同样不具备对称性。

3. 乘法：奇函数与偶函数相乘的结果是一个奇函数。这是因为[f(x) g(x)]在x取相反数时会变为-f(x)g(x)，符合奇函数的定义。

4. 除法：这里特别提到的是偶函数除以奇函数的情况。假设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则h(x) = f(x)/g(x)会形成一个新的函数。由于偶函数在x取相反数时保持不变，而奇函数则改变符号，因此这种组合会产生一个非对称的函数。

综上所述，奇函数与偶函数的加减运算通常不会保留原有的对称性，而乘法则倾向于产生奇函数，至于除法则需要具体分析具体情况。理解这些基本原理有助于我们在解决更复杂的数学问题时做出准确的判断。