在数学分析中，探讨函数的导数是一个重要的课题。本文将聚焦于函数 $ y = \cot x $ 的导数计算过程。首先，我们需要明确 $\cot x$ 是余切函数，其定义为 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$。为了求解其导数，我们可以采用商数法则。

商数法则表明，若函数 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，则其导数为：

$$

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.

$$

对于 $ y = \cot x $，我们有 $ g(x) = \cos x $ 和 $ h(x) = \sin x $。因此，$ g'(x) = -\sin x $ 且 $ h'(x) = \cos x $。代入商数法则公式，得到：

$$

y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}.

$$

化简分子部分：

$$

-\sin^2 x - \cos^2 x = -(\sin^2 x + \cos^2 x).

$$

根据三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，分子变为 $-1$。因此，导数简化为：

$$

y' = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.

$$

综上所述，函数 $ y = \cot x $ 的导数为 $ y' = -\csc^2 x $。这一结果在微积分和物理学等领域具有广泛的应用。

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