【怎样求微分】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握如何求微分，有助于理解函数的变化趋势和局部性质。本文将简要总结微分的基本概念与常见方法，并通过表格形式展示不同函数的微分公式。
一、微分的基本概念
微分（Derivative）是函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。若函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x $ 处可导，则其导数记作 $ f'(x) $ 或 $ \frac{dy}{dx} $，表示函数在该点的瞬时变化率。
二、求微分的方法总结
1. 基本初等函数的导数公式
2. 四则运算规则
3. 复合函数求导法（链式法则）
4. 隐函数求导法
5. 高阶导数
三、常见函数的微分公式表
| 函数形式 | 微分结果 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
四、求导法则说明
| 法则名称 | 公式表达 | 说明 |
| 加减法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ | 对两个函数的和或差求导 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 乘积的导数等于导数乘另一函数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 分式的导数公式 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
五、应用示例
例如，求函数 $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ 的导数：
1. 设 $ u = x^2 + 1 $，则 $ f(u) = u^3 $
2. 使用链式法则：$ f'(x) = 3u^2 \cdot u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
六、注意事项
- 求导前需判断函数是否可导；
- 注意复合函数的顺序，避免混淆内外层函数；
- 多项式函数可逐项求导后相加；
- 对于隐函数，需要对两边同时求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $。
通过以上内容，我们可以系统地掌握微分的基本方法与技巧，为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实基础。
